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已知函数f(x)=︱x-a︱/x(a>0),且满足f(1/2)=1. (1)求a的值;

数学试题 02-25
已知函数(),且满足.
(1)求a的值;
(2)设函数(),若存在,使得成立,求实数t的取值范围;
(3)若存在实数m,使得关于x的方程恰有4个不同的正根,求实数m的取值范围.
【答案】(1)1;(2);(3)
【解析】
【分析】
(1)根据题意,代入函数值,即可求解;
(2)根据题意,求解函数值域,若存在,使得成立,转化为值域有交集,即可求解参数取值范围;
(3)由(1)分析函数的值域,可知时,有两根;再观察方程,同除后方程可化简为,只需使方程在上有两根,即可求解.
【详解】(1)由,得或0.
因为,所以,所以.
(2)
所以;故的值域为
因为时,上单调递增,
所以的值域为,由题意
考虑到,所以,解得;
综上:实数t的取值范围是
(3)当时,上为增函数;
时,.
可得上为减函数,当时,.
方程可化为
.
,方程可化为.
要使原方程有4个不同的正根,
则关于s方程有两个不等的根
则有,解得
所以实数m的取值范围为.
【点睛】(1)考查计算能力,基础题;(2)转化与化归思想解题,考查求函数值域,交集不空的参数范围,属于中等题;(3)转化方程与已知函数关联,考查函数与方程思想,转化与化归思想,一元二次方程根的限定条件,综合性较强,属于难题.
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