已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQ＝OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F(点F与点C、D不重合)，AB＝20，cos ∠AOC

已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQ＝OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F(点F与点C、D不重合)，AB＝20，cos ∠AOC＝.设OP＝x，△CPF的面积为y.
(1)求证：AP＝OQ；
(2)求y关于x函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．
 
【答案】（1）详见解析；（2）y＝，x的取值范围为 <x<10；（3）线段OP的长为8.
【解析】
【分析】
（1）连接OD，根据两直线平行，内错角相等和等边对等角的性质可得出∠AOC＝∠ODC，再利用边角边的判断定理可证明△AOP≌△ODQ，根据全等三角形对应边相等即可证明AP＝OQ.
（2）过点P作PH⊥OA于点H，过点O作OG⊥CD于点G.根据两直线平行，内错角相等可证明△PFC∽△PAO，利用三角函数的计算公式和勾股定理可用x表示出△PAO的面积，再利用相似三角形面积之比等于相似比的平方即可用x表示出y，分别取点F与点D和点C重合时，利用垂径定理和相似三角形的性质可求出x的值，因为点F与点C、D不重合，即可得出X的取值范围．
（3）根据题意可知，当△POE为直角三角形时，可分三种情况讨论：即∠POE=90°、∠OPE=90°、∠OEP=90°，分别讨论三种情况OP的长，并取符合（2）中x的取值范围的结果．
【详解】
(1)证明：连结OD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC.
∵CD∥AB，∴∠AOC＝∠OCD，
∴∠AOC＝∠ODC.
△AOP和△ODQ中，

∴△AOP≌△ODQ，
∴AP＝OQ.
(2)作PH⊥OA，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G.
由cos∠AOC=可得OH＝x，
再RT△OPH中，由勾股定理可得：PH=，
则S△AOP＝=3x.
∵CD∥AB，
∴△PFC∽△PAO，
∴，
∴=.
当点F与点C重合时，OP＝10.
当点F与点D重合时，
∵cos∠OCG＝＝cos∠AOC＝，
∴CG＝8，
∴CD＝16.
∵，
∴
解得x＝.
又∵点F与点C、D不重合，
∴x的取值范围为<x<10.
(3)解：当∠POE＝90°时，CQ＝，OP＝DQ＝CD－CQ＝3.5(舍去)；
当∠OPE＝90°时，则∠APO＝90°，
∴OP＝AO·cos∠COA＝8；
当∠OEP＝90°时，此种情况不存在．
∴线段OP的长为8.
【点睛】本题结合三角形相似考查了几何图形中的动点问题，动点问题要注意运动的范围，此外第三问中只是说△OPE是直角三角形，并未指明哪个角是直角，需要分类讨论.