已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为________.
【答案】6
【解析】 法一:由已知得x+3y=9-xy,
又因为x>0,y>0,所以x+3y≥2,
所以3xy≤,
当且仅当x=3y时,即x=3,y=1时取等号,
(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0.
令x+3y=t,则t>0且t2+12t-108≥0,
得t≥6即x+3y≥6.
法二:由x+3y+xy=9,
得x=,
所以x+3y=+3y=
==
=3(1+y)+-6≥2-6=12-6=6.
当且仅当3(1+y)=,即y=1时等号成立.所以x+3y的最小值为6.
【答案】6
【解析】 法一:由已知得x+3y=9-xy,
又因为x>0,y>0,所以x+3y≥2,
所以3xy≤,
当且仅当x=3y时,即x=3,y=1时取等号,
(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0.
令x+3y=t,则t>0且t2+12t-108≥0,
得t≥6即x+3y≥6.
法二:由x+3y+xy=9,
得x=,
所以x+3y=+3y=
==
=3(1+y)+-6≥2-6=12-6=6.
当且仅当3(1+y)=,即y=1时等号成立.所以x+3y的最小值为6.